Подготовила

учитель математики школы №555 «Белогорье»

Матвеева Надежда Васильевна

ода - икосаэдр

Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:

Вселенная – додекаэдр

Земля – куб

Огонь - тетраэдр

Вода - икосаэдр

Воздух - октаэдр

Платоновы тела

Звездчатые

многогранники

Платоновы тела

Тетраэдр

Тетра́эдр (четырёхгранник)-

многогранник с четырьмя треугольными гранями,

в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани.

У тетраэдра 4 грани,

4 вершины и

Куб или правильный гексаэдр -

правильный многогранник ,

каждая грань которого представляет собой квадрат . Частный случай параллелепипеда и призмы .

Гексаэдр

4 грани

8 вершин

12 рёбер

Окта́эдр (греч. οκτάεδρον, от греч. οκτώ, «восемь» и греч. έδρα - «основание») - один из пяти выпуклых правильных многогранников , так называемых, Платоновых тел.

Додекаэдр

Икосаэдр

20 граней

30 вершин

32 ребра

Развёртки Платоновых тел

Многогранники в природе

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Алмаз (октаэдр

Шеелит (пирамида

Хрусталь (призма)

Поваренная соль (куб)

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.

Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок.

Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды

«Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Эвклид мог бы поучиться, познавая геометрию сот».

Живые многогранники

Многогранники в архитектуре

Казанская церковь в Москве

В Лондоне построят здание-многогранник

Национальная библиотека Белоруссии – сияющий ромбокубооктаэдр

Летний домик в виде многогранника

Общественный и культурный центр в Сингапуре

Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню. Верхняя башня формой напоминала цилиндр, в котором горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты. На вершине башни стояла статуя Зевса Спасителя. Общая высота маяка составляла 117 метров.

Великие П ирамиды Египта в Гизе

Еги́петские пирами́ды - величайшие архитектурные памятники Древнего Египта, среди которых одно из «семи чудес света» - пирамида Хеопса. Пирамиды представляют собой огромные каменные сооружения пирамидальной формы, использовавшиеся в качестве гробниц для фараонов Древнего Египта.

Пример изображения правильных многогранников, выполненный художником XX века Сальвадором Дали (1904-1989) (рис. 5).

Многогранники в искусстве

1. Сколько существует видов правильных многогранников?(5,13,8,много)

Какие правильные многогранники имеют по 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии?(Икосаэдр,тетраэдр,додекаэдр,октаэдр)

Какой из математиков установил соотношения между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника?

(Платон, Архимед, Эйлер, Кеплер)

Домашнее задание:

Звездчатые многогранники

Тест "Правильные многогранники"

1. Сколько существует видов правильных многогранников?

Какие правильные многогранники имеют по 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии? ИкосаэдрТетраэдрДодекаэдрОктаэдр

Какой из математиков установил соотношения между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника? ПлатонАрхимедЭйлерКеплер

Согласно теории о связи структуры Земли с правильными многогранниками, проекции каких вписанных в земной шар фигур проступают в земной коре?

(Икосаэдр,гексаэдр, додекаэдр, октаэдр)

Слайд 1

Правильные выпуклые многогранники
Платоновы тела

Слайд 2

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук. Л. Кэрролл

Слайд 3

Правильный тетраэдр
Составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180º.
Рис. 1

Слайд 4

Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º.
Правильный октаэдр
Рис. 2

Слайд 5

Правильный икосаэдр
Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300º.
Рис. 3

Слайд 6

Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270º.
Куб (гексаэдр)
Рис. 4

Слайд 7

Правильный додекаэдр
Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º.
Рис. 5

Слайд 8

пришли из Древней Греции, в них указывается число граней: «эдра»  грань; «тетра»  4; «гекса»  6; «окта»  8; «икоса»  20; «додека»  12.
Названия многогранников

Слайд 9

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени. Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду. Куб – самая устойчивая из фигур – землю. Октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.
Правильные многогранники в философской картине мира Платона

Слайд 10

«Космический кубок» Кеплера
Кеплер предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, к который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы (рис. 6) получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.
Модель Солнечной системы И. Кеплера
Рис. 6

Слайд 11

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (рис. 7). Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.
Икосаэдро- додекаэдровая структура Земли
Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли
Рис. 7

Слайд 12

Правильный многогранник Число Число Число
Правильный многогранник граней вершин рёбер
Тетраэдр 4 4 6
Куб 6 8 12
Октаэдр 8 6 12
Додекаэдр 12 20 30
Икосаэдр 20 12 30
Таблица № 1

Слайд 13

Правильный многогранник Число Число
Правильный многогранник граней и вершин (Г + В) рёбер (Р)
Тетраэдр 4 + 4 = 8 6
Куб 6 + 8 = 14 12
Октаэдр 8 + 6 = 14 12
Додекаэдр 12 + 20 = 32 30
Икосаэдр 20 + 12 = 32 30
Таблица № 2

Слайд 14

Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на 2. Г + В = Р + 2
Формула Эйлера
Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2. Г + В  Р = 2

Слайд 15

Сальвадор Дали
«Тайная вечеря»

Слайд 16

Правильные многогранники и природа
Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр (рис. 8). Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами (K  12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.
Феодария (Circjgjnia icosahtdra)
Рис. 8

Слайд 17

Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке 9. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.
Задача
Рис. 9

Презентация на тему "Платоновы тела" – ключ к устройству Земли и Мироздания" по алгебре в формате powerpoint. В данной презентации для школьников рассказывается о том, что такое платоново тело и о его роли в занимательной математике. Автор презентации: учитель математики Артамонова Л.В.

Фрагменты из презентации

Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из двенадцати кусков кожи... (c) Платон, "Федон"

Этюд первый. Сферическая сковорода

• Представление о додекаэдрической Земле возродил в 1829 году французский геолог, член Парижской академии Эли де Бомон. Он выдвинул гипотезу, что исходно жидкая планета при застывании приняла форму додекаэдра. Де Бомон построил сеть, состоящую из ребер додекаэдра и двойственного ему икосаэдра, а затем стал двигать ее по глобусу. Так он искал положение, которое в наибольшей степени отразило бы особенности рельефа нашей планеты. И нашел вариант, когда грани икосаэдра более или менее совпали с наиболее устойчивыми областями земной коры, а его тридцать ребер - с горными хребтами и местами, где происходили ее изломы и смятия.
• Сто лет спустя идею подхватил наш соотечественник С.И.Кислицын, предложивший совместить две противоположные вершины икосаэдра с полюсами Земли, при этом крупнейшие месторождения алмазов вроде бы оказались в некоторых других его вершинах. А в последней трети прошлого века модель де Бомона с ориентацией Кислицына стали развивать у нас в стране Н.Ф.Гончаров, В.А.Макаров и В.С.Морозов.
• Гончаров, Макаров и Морозов полагали, что внутри Земли возникло твердое ядро в виде додекаэдра, которое направляло потоки вещества к поверхности; в результате образовался как бы силовой каркас планеты, повторяющий структуру ядра. Однако по мнению нашего известного кристаллографа и минералога И.И.Шафрановского, додекаэдр и икосаэдр с их осями симметрии пятого порядка не обладают кристаллографической симметрией, и потому предположение о формировании в сердцевине планеты подобных тел неправомерно.
• Замощение сферы одними шестиугольниками невозможно, так как противоречит теореме Эйлера, связывающей числа вершин, ребер и граней в любом полиэдре. Вот Иванюк с Горяиновым и считают, что сфера покроется сеткой из пятиугольников, поскольку они наиболее близки к шестиугольникам, однако ими замостить поверхность сферы можно. Значит, получится додекаэдр! Тот же вывод останется в силе, если жидкий слой на поверхности сферы будет становиться все толще, а радиус сферы - все меньше, так что жидкость заполнит почти весь объем шара.
• Применительно к Земле это означает, что если она миллиарды лет представляла собой горячее ядро, окруженное вязкой жидкостью, то в ней могли возникать пятиугольные конвективные ячейки (сторона которых соизмерима с радиусом планеты). И тогда потоки вещества в них, остывая и затвердевая, формировали бы тот додекаэдрический каркас, о котором говорили де Бомон и его последователи

Этюд второй. Застывшая музыка

• При первом взгляде на глобус распределение материков и океанов кажется малоупорядоченным, однако некоторые закономерности, как давно замечено, все же имеются.
• Во-первых, два разделяемых экватором полушария сильно разнятся: в Северном преобладает суша, в Южном - море.
• Во-вторых, формы материков и океанов близки к треугольным, причем материковые треугольники основаниями обращены к северу, а суживающимися концами к югу; океанические же - наоборот.
• В-третьих, диаметры, проведенные через сушу, в подавляющем большинстве случаев пройдут по другую сторону земного шара через воду, то есть соблюдается антиподальность материков и океанов.
• Последний факт означает, что у земной поверхности нет центра симметрии, но имеется центр антисимметрии, или двухцветной симметрии, представления о которой развивал наш крупнейший кристаллограф академик А.В.Шубников. Суть в том, что исходно равноправные центрально-симметричные элементы некоторой фигуры разбиваются на два класса, которые условно помечают двумя цветами. И тогда операция отражения от центра переводит элемент одного цвета в элемент другого - в антиэлемент.
• Шафрановский отметил, что перечисленные выше свойства рельефа Земли могут быть в первом приближении охвачены геометрической моделью, предложенной в 50-х годах видным советским геологом Б.Л.Личковым. Она основана на октаэдре, восемь граней которого раскрашены в два цвета так, чтобы соседние грани были разноцветными. Ясно, что "шахматная" раскраска отвечает антисимметрии: напротив каждой грани лежит грань другого цвета.
• Пусть белые грани изображают материки, а синие - океаны. Положим октаэдр на белую грань, которая будет Антарктидой. Тогда верхняя синяя грань изобразит Северный Ледовитый океан, а три окружающие ее треугольные белые грани станут теми треугольниками, которые видны на глобусе - Северная и Южная Америки, Европа плюс Африка и Азия. Перевернув октаэдр, получим другую картину: вокруг белой грани (Антарктиды) лежат три синие - океаны.

Заключение

• В обоих этюдах основные идеи сходны: некоторый физический процесс нарушает непрерывную симметрию сферы и в результате возникает дискретная симметрия одного из Платоновых тел. Не исключено, что во времена, когда Земля "была безвидна и пуста", подобные эффекты определили основные черты ее поверхности. А так как в разные геологические эпохи действовали и многие другие факторы, то окончательная картина оказалась гораздо сложнее и запутаннее.
• Судя по всему, правильные многогранники будут играть все более важную роль в разных областях знаний. И тут не просто ludi mathematici (математические игры) - эти фигуры внутренне связаны с природными явлениями. Как говорил Платон, из всех видимых тел они самые чудесные, причем каждое из них прекрасно по-своему. Наверное, здесь именно тот случай, когда красота и истина - одно.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Многогранник – это геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Многогранник – это геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней – рёбра многогранника, а концы рёбер – вершины многогранника. Стороны граней – рёбра многогранника, а концы рёбер – вершины многогранника. По числу граней различают четырёхгранники, пятигранники и т. д. По числу граней различают четырёхгранники, пятигранники и т. д.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости, каждой из его граней. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости, каждой из его граней. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – одинаковые правильные многоугольники, в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер, а соседние грани образуют равные углы. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – одинаковые правильные многоугольники, в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер, а соседние грани образуют равные углы. Все правильные многогранники имеют разное число граней и названия получили по этому числу. Все правильные многогранники имеют разное число граней и названия получили по этому числу. Правильных многогранников ровно пять - ни больше ни меньше. Правильных многогранников ровно пять - ни больше ни меньше.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Тетраэдр (от,тетра– четыре и греческого,hedra – грань) составлен из 4-х правильных треугольников, в каждой его вершине сходятся 3 ребра. Тетраэдр (от,тетра– четыре и греческого,hedra – грань) составлен из 4-х правильных треугольников, в каждой его вершине сходятся 3 ребра.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Гексаэдр (от греческого,гекса – шесть и,hedra – грань) имеет 6 квадратных граней, в каждой его вершине сходятся 3 ребра. Гексаэдр (от греческого,гекса – шесть и,hedra – грань) имеет 6 квадратных граней, в каждой его вершине сходятся 3 ребра. Гексаэдр больше известен как куб (от латинского, cubus ; от греческого,kubos. Гексаэдр больше известен как куб (от латинского, cubus ; от греческого,kubos.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Октаэдр (от греческого okto – восемь и hedra – грань) имеет 8 граней (треугольных), в каждой вершине сходятся 4 ребра. Октаэдр (от греческого okto – восемь и hedra – грань) имеет 8 граней (треугольных), в каждой вершине сходятся 4 ребра.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) имеет 12 граней (пятиугольных), в каждой вершине сходятся 3 ребра. Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) имеет 12 граней (пятиугольных), в каждой вершине сходятся 3 ребра.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Икосаэдр (от греческого eikosi – двадцать и hedra – грань) имеет 20 граней (треугольных), в каждой вершине сходится 5 рёбер. Икосаэдр (от греческого eikosi – двадцать и hedra – грань) имеет 20 граней (треугольных), в каждой вершине сходится 5 рёбер.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Древнегреческий философ Платон, (428 или 427 до н. э. 348 или 347), проводивший беседы со своими учениками в роще Академа (Академ – древнегреческий мифологический герой, которого, по преданию, похоронили в священной роще недалеко от Афин, откуда и пошло название,академия), одним из девизов своей школы провозгласил:, Не знающие геометрии не допускаются! Древнегреческий философ Платон, (428 или 427 до н. э. 348 или 347), проводивший беседы со своими учениками в роще Академа (Академ – древнегреческий мифологический герой, которого, по преданию, похоронили в священной роще недалеко от Афин, откуда и пошло название,академия), одним из девизов своей школы провозгласил:, Не знающие геометрии не допускаются!

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА В диалоге,Тимей Платон связал правильные многогранники с четырьмя основными стихиями. Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным. Хотя правильные многогранники были известны пифагорейцам за несколько веков до Платона, но их называют платоновыми телами. В диалоге,Тимей Платон связал правильные многогранники с четырьмя основными стихиями. Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным. Хотя правильные многогранники были известны пифагорейцам за несколько веков до Платона, но их называют платоновыми телами. Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера. Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Из правильных многогранников – Платоновых тел – можно получить так называемые полуправильные многогранники, или архимедовы тела. Гранями их являются также правильные, но разноименные многоугольники. Из правильных многогранников – Платоновых тел – можно получить так называемые полуправильные многогранники, или архимедовы тела. Гранями их являются также правильные, но разноименные многоугольники.

Формула Эйлера Многогран- ник ВершиныГраниРёбраВ+Г-Р Тетраэдр4462 Гексаэдр86122 Октаэдр68122 Додекаэдр Икосаэдр Подсчитаем число вершин (В), граней (Г), рёбер (Р) запишем результаты в таблицу. Подсчитаем число вершин (В), граней (Г), рёбер (Р) запишем результаты в таблицу. В последней колонке для всех многогранни- ков один и тот же результат: В+Г- Р=2. В последней колонке для всех многогранни- ков один и тот же результат: В+Г- Р=2. Формула верна не только для правильных многогранников, но и для всех многогранников! Формула верна не только для правильных многогранников, но и для всех многогранников!

Закон взаимности У правильных многогранников есть интересная особенность – своеобразный,закон взаимности. Центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра – вершинами куба. У правильных многогранников есть интересная особенность – своеобразный,закон взаимности. Центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра – вершинами куба.

Закон взаимности Особняком от этих 4-х многогранников стоит тетраэдр: если считать центры его граней вершинами нового многогранника, то вновь получится тетраэдр. Особняком от этих 4-х многогранников стоит тетраэдр: если считать центры его граней вершинами нового многогранника, то вновь получится тетраэдр. Тетраэдр двойствен сам себе. Тетраэдр двойствен сам себе.

Закон взаимности Куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр – это две пары двойственных многогранников. У них одинаковое число рёбер (12 – у куба и октаэдра; 30 – у додекаэдра и икосаэдра), а числа вершин и граней переставлены. Куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр – это две пары двойственных многогранников. У них одинаковое число рёбер (12 – у куба и октаэдра; 30 – у додекаэдра и икосаэдра), а числа вершин и граней переставлены.

Правильные многогранники вокруг нас Теория правильных многоугольников и многогранников - один из самых увлекательных и ярких разделов математики. Но закономерности, открытые математиками, удивительным образом связаны с симметрией живой и неживой природы – с формами различных кристаллов, точной формой вирусов, с современными теориями в физике, биологии и других областях знания. Теория правильных многоугольников и многогранников - один из самых увлекательных и ярких разделов математики. Но закономерности, открытые математиками, удивительным образом связаны с симметрией живой и неживой природы – с формами различных кристаллов, точной формой вирусов, с современными теориями в физике, биологии и других областях знания.

Правильные многогранники вокруг нас Например: одноклеточные организмы феодарии, имеют форму икосаэдра одноклеточные организмы феодарии, имеют форму икосаэдра куб передает форму кристаллов поваренной соли куб передает форму кристаллов поваренной соли монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра сурьменистый сернокислый натрий – тетраэдра сурьменистый сернокислый натрий – тетраэдра бор – икосаэдра бор – икосаэдра

Библиография 1.Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 3 – М.: Баласс, Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 3 – М.: Баласс, Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 классы. Пособие для учителей. – М.: Издательство НЦ ЭНАС, Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 классы. Пособие для учителей. – М.: Издательство НЦ ЭНАС, Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для V – VI классов. – М.: Мирос, Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для V – VI классов. – М.: Мирос, Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта+, Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта+, Энциклопедия для детей. Я познаю мир.Математика. – М.: Издательство АСТ, Энциклопедия для детей. Я познаю мир.Математика. – М.: Издательство АСТ, 1999

1 из 17

Презентация на тему: «Платоновы тела»

№ слайда 1

Описание слайда:

№ слайда 2

Описание слайда:

№ слайда 3

Описание слайда:

№ слайда 4

Описание слайда:

Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º. Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º.

№ слайда 5

Описание слайда:

Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300º. Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300º.

№ слайда 6

Описание слайда:

№ слайда 7

Описание слайда:

Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º. Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º.

№ слайда 8

Описание слайда:

№ слайда 9

Описание слайда:

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени. Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду. Куб – самая устойчивая из фигур – землю. Октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

№ слайда 10

Описание слайда:

Кеплер предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Кеплер предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, к который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы (рис. 6) получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.

№ слайда 11

Описание слайда:

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (рис. 7). Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (рис. 7). Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.